一、概念

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线性回归是一种有监督的回归分析技术，其是找出自变量与因变量之间的因果关系，本质上是一个函数估计的问题。回归分析的因变量应该是连续变量，若因变量为离散变量，则问题就转化为分类问题。回归分析主要应用场景为预测，常用的算法有如下：线性回归、二项式回归、岭回归、Lasso等。

二、模型的表达式及推导

现有如下训练集：

D={(X1，Y1),(X2，Y2),...,(Xn,Yn)}

写成矩阵形式：

现在目的是对于给定的X找出W的最优解

采用最小二乘法来求解：先假设这个线的方程成立，然后把样本数据点代入假设的方程得到观测值，求使得实际值与观测值相减的平方和最小的参数。对变量求偏导联立便可求。

因此我们可以得到如下的损失函数：

推导：

目标是求的W使得损失函数的值最小，求解如下：

对W求偏导，得出如下结果：

本文主要介绍线性回归的一般推导，后续会推出采用梯度下降法求上述解的过程。

代码实例

本文在实现线性回归的技术时，为了作为对比，采用了多种回归算法技术，如普通线性回归，贝叶斯回归，SVM，集成算法等，这样对于算法的选择有一个比较。下面来看具体代码实现：

import numpy as np

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt #导入图形展示库

from sklearn.linear_model import BayesianRidge,LinearRegression,ElasticNet #批量导入要实现的回归算法

from sklearn.svm import SVR #SVM中的回归算法

from sklearn.ensemble.gradient_boosting import GradientBoostingRegressor #集成算法

from sklearn.model_selection import cross_val_score #交叉检验

from sklearn.metrics import explained_variance_score,mean_absolute_error,mean_squared_error,r2_score #批量导入指标算法

raw_data=np.loadtxt('D:\\data\\regression.txt')

x=raw_data[:,:-1] #分隔自变量

y=raw_data[:,-1] #分隔因变量

#训练回归模型无锡妇科检查医院 http://www.87554006.com/

n_folds=6 #设置交叉检验的次数

model_br=BayesianRidge() #建立贝叶斯岭回归模型对象

model_lr=LinearRegression() #建立普通线性回归模型对象

model_etc=ElasticNet() #建立弹性网络回归模型

model_svr=SVR() #建立支持向量机回归模型

model_gbr=GradientBoostingRegressor() #建立梯度增强回归模型对象

model_names=['BayesianRidge','LinearRegression','ElasticNet','SVR','GBR'] #不同模型的名称列表

model_dic=[model_br,model_lr,model_etc,model_svr,model_gbr] #不同模型对象名称的列表

cv_score_list=[] #交叉验证结果列表

pre_y_list=[] #各个回归模型预测的y值列表

for model in model_dic: #读出每个回归模型对象

scores=cross_val_score(model,x,y,cv=n_folds) #将每个回归模型导入交叉检验模型中做训练检验

cv_score_list.append(scores) #将交叉验证结果存入到结果列表

pre_y_list.append(model.fit(x,y).predict(x)) #将回归训练中得到的预测y存入到列表

#模型效果指标评估

n_samples,n_features=x.shape #总样本量，总特征数

model_metrics_name=[explained_variance_score,mean_absolute_error,mean_squared_error,r2_score] #回归评估指标对象集

model_metrics_list=[] #回归评估指标列表

for i in range(5): #循环每个模型索引

tmp_list=[] #每个内循环的临时结果列表

for m in model_metrics_name: #循环每个指标对象

tmp_score=m(y,pre_y_list[i]) #计算每个回归指标结果

tmp_list.append(tmp_score) #将结果存入每个内循环的临时结果列表

model_metrics_list.append(tmp_list) #将结果存入到回归评估指标列表

df1=pd.DataFrame(cv_score_list,index=model_names) #建立交叉验证的数据框

df2=pd.DataFrame(model_metrics_list,index=model_names,columns=['ev','mae','mse','r2']) #建立回归指标的数据框

print ('samples:%d\t features:%d' % (n_samples,n_features)) #打印输出样本量和特征数量

print (90*'-') #打印分隔线

print ('cross validation result:') #打印输出标题

print (df1) #打印输出交叉检验的数据框

print (90*'-') #打印输出分隔线

print ('regression metrics:') #打印输出标题

print (df2) #打印输出回归指标的数据框

print (90*'-') #打印输出分隔线

print ('short name \t full name') #打印输出缩写和全名标题

print ('ev \t explained_variance')

print ('mae \t mean_absolute_error')

print ('mse \t mean_squared_error')

print ('r2 \t r2')

print (90*'-') #打印输出分隔线

运行结果

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指标解释：

从上图中可以看出：增强梯度(GBR)回归效果是所有模型中回归效果最好的，从回归矩阵(regression metrics)中看出其方差解释ev达到了0.975，并且其平均绝对误差和均方差都是最低的，分别为1.152、2.100。从交叉验证的结果可以看出，GBR在交叉验证的6次验证中，其结果的稳定性相对较高，这证明该算法在应对不同的数据时稳定效果较好。

模型效果的可视化

模型拟合好以后，可以将几种回归效果借助matplotlib进行展示。代码如下：

#模型效果的可视化

plt.figure #创建画布

plt.plot(np.arange(x.shape[0]),y,color='k',label='true y') #画出原始值得曲线

color_list=['r','b','g','y','c'] #颜色列表

linesytle_list=['-','.','o','v','*'] #样式列表

for i,pre_y in enumerate(pre_y_list):

plt.plot(np.arange(x.shape[0]),pre_y_list[i],color_list[i],label=model_names[i]) #画出每条预测结果线

plt.title('regression result comparison') #标题

plt.legend(loc='upper right') #图例位置

plt.ylabel('real and predicted value') #y轴标题

plt.show() #展示图像

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