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独一无二的二叉搜索树

Given n, how many structurally unique BST"s (binary search trees) that store values 1 ... n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST"s:

1         3     3      2      1
       /     /      /      
3     2     1      1   3      2
/     /                       
2     1         2                 3

这道题实际上是 卡塔兰数 Catalan Numbe 的一个例子，如果对卡塔兰数不熟悉的童鞋可能真不太好做。话说其实我也是今天才知道的好嘛 -.-|||，为啥我以前都不知道捏？！为啥卡塔兰数不像斐波那契数那样人尽皆知呢，是我太孤陋寡闻么？！不过今天知道也不晚，不断的学习新的东西，这才是刷题的意义所在嘛! 好了，废话不多说了，赶紧回到题目上来吧。我们先来看当 n = 1 的情况，只能形成唯一的一棵二叉搜索树，n分别为 1,2,3 的情况如下所示：

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
/         
1            2

1         3     3      2      1           n = 3
       /     /      /      
3     2     1      1   3      2
/     /                       
2     1         2                 3

就跟斐波那契数列一样，我们把 n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树，那么 n = 1 时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右子树都是空树，所以1乘1还是1。那么 n = 2 时，由于1和2都可以为根，分别算出来，再把它们加起来即可。n = 2 的情况可由下面式子算出（这里的 dp[i] 表示当有i个数字能组成的 BST 的个数）：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有一个数字)

+ dp[1] * dp[0]　　  (2为根的情况，则左子树可以有一个数字，右子树一定不存在)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况，则左子树一定不存在，右子树可以有两个数字)

+ dp[1] * dp[1]　　  (2为根的情况，则左右子树都可以各有一个数字)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3为根的情况，则左子树可以有两个数字，右子树一定不存在)

我们根据以上的分析，可以写出代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector dp(n + 1);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

由卡特兰数的递推式还可以推导出其通项公式，即 C(2n,n)/(n+1)，表示在 2n 个数字中任取n个数的方法再除以 n+1，只要你还没有忘记高中的排列组合的知识，就不难写出下面的代码，注意在相乘的时候为了防止整型数溢出，要将结果 res 定义为长整型，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long res = 1;
        for (int i = n + 1; i <= 2 * n; ++i) {
            res = res * i / (i - n);
        }
        return res / (n + 1);
    }
};

读到这里，这篇“C++怎么实现独一无二的二叉搜索树”文章已经介绍完毕，想要掌握这篇文章的知识点还需要大家自己动手实践使用过才能领会，如果想了解更多相关内容的文章，欢迎关注创新互联行业资讯频道。

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