C++如何求所有顶点之间的最短路径

这篇文章主要讲解了C++如何求所有顶点之间的最短路径，内容清晰明了，对此有兴趣的小伙伴可以学习一下，相信大家阅读完之后会有帮助。

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一、思路：不能出现负权值的边

C++如何求所有顶点之间的最短路径

用Floyd算法，总的执行时间为O(n的3次方）

k从顶点0一直到顶点n-1，

如果，有顶点i到顶点j之间绕过k，使得两顶点间的路径更短，即dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]，则修改：dist[i][j]

如：（1）当k=0时，

顶点2绕过顶点0到达顶点1，使得路径为：3+1 < dist[2][1]，所以，要修改dist[2][1]=4,同时要修改path[2][1]=path[0][1];

顶点2绕过顶点0到达顶点3，使得路径为：3+4 < dist[2][3]，所以，要修改dist[2][1]=7,同时要修改path[2][3]=path[0][3];

（2）当k=1时，

顶点2绕过顶点1到达顶点3，使得路径为：2->0->1->3，3+1+2=6

一直重复上面步骤，直到k=6

二、实现程序：

1.Graph.h:有向图

#ifndef Graph_h
#define Graph_h
#include 
using namespace std;
 
const int DefaultVertices = 30;
 
template 
struct Edge { // 边结点的定义
 int dest; // 边的另一顶点位置
 E cost; // 表上的权值
 Edge *link; // 下一条边链指针
};
 
template 
struct Vertex { // 顶点的定义
 T data; // 顶点的名字
 Edge *adj; // 边链表的头指针
};
 
template 
class Graphlnk {
public:
 const E maxValue = 100000; // 代表无穷大的值（=∞）
 Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 构造函数
 ~Graphlnk(); // 析构函数
 void inputGraph(); // 建立邻接表表示的图
 void outputGraph(); // 输出图中的所有顶点和边信息
 T getValue(int i); // 取位置为i的顶点中的值
 E getWeight(int v1, int v2); // 返回边（v1， v2）上的权值
 bool insertVertex(const T& vertex); // 插入顶点
 bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入边
 bool removeVertex(int v); // 删除顶点
 bool removeEdge(int v1, int v2); // 删除边
 int getFirstNeighbor(int v); // 取顶点v的第一个邻接顶点
 int getNextNeighbor(int v,int w); // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
 int getVertexPos(const T vertex); // 给出顶点vertex在图中的位置
 int numberOfVertices(); // 当前顶点数
private:
 int maxVertices; // 图中最大的顶点数
 int numEdges; // 当前边数
 int numVertices; // 当前顶点数
 Vertex * nodeTable; // 顶点表(各边链表的头结点)
};
 
// 构造函数:建立一个空的邻接表
template 
Graphlnk::Graphlnk(int sz) {
 maxVertices = sz;
 numVertices = 0;
 numEdges = 0;
 nodeTable = new Vertex[maxVertices]; // 创建顶点表数组
 if(nodeTable == NULL) {
  cerr << "存储空间分配错误！" << endl;
  exit(1);
 }
 for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
  nodeTable[i].adj = NULL;
}
 
// 析构函数
template 
Graphlnk::~Graphlnk() {
 // 删除各边链表中的结点
 for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
  Edge *p = nodeTable[i].adj; // 找到其对应链表的首结点
  while(p != NULL) { // 不断地删除第一个结点
   nodeTable[i].adj = p->link;
   delete p;
   p = nodeTable[i].adj;
  }
 }
 delete []nodeTable; // 删除顶点表数组
}
 
// 建立邻接表表示的图
template 
void Graphlnk::inputGraph() {
 int n, m; // 存储顶点树和边数
 int i, j, k;
 T e1, e2; // 顶点
 E weight; // 边的权值
 
 cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
 cin >> n >> m;
 cout << "请输入各顶点：" << endl;
 for(i = 0; i < n; i++) {
  cin >> e1;
  insertVertex(e1); // 插入顶点
 }
 
 cout << "请输入图的各边的信息：" << endl;
 i = 0;
 while(i < m) {
  cin >> e1 >> e2 >> weight;
  j = getVertexPos(e1);
  k = getVertexPos(e2);
  if(j == -1 || k == -1)
   cout << "边两端点信息有误，请重新输入！" << endl;
  else {
   insertEdge(j, k, weight); // 插入边
   i++;
  }
 } // while
}
 
// 输出有向图中的所有顶点和边信息
template 
void Graphlnk::outputGraph() {
 int n, m, i;
 T e1, e2; // 顶点
 E weight; // 权值
 Edge *p;
 
 n = numVertices;
 m = numEdges;
 cout << "图中的顶点数为" << n << ",边数为" << m << endl;
 for(i = 0; i < n; i++) {
  p = nodeTable[i].adj;
  while(p != NULL) {
   e1 = getValue(i); // 有向边dest>
   e2 = getValue(p->dest);
   weight = p->cost;
   cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
   p = p->link; // 指向下一个邻接顶点
  }
 }
}
 
// 取位置为i的顶点中的值
template 
T Graphlnk::getValue(int i) {
 if(i >= 0 && i < numVertices)
  return nodeTable[i].data;
 return NULL;
}
 
// 返回边（v1， v2）上的权值
template 
E Graphlnk::getWeight(int v1, int v2) {
 if(v1 != -1 && v2 != -1) {
  if(v1 == v2) // 说明是同一顶点
   return 0;
  Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一条关联的边
  while(p != NULL && p->dest != v2) { // 寻找邻接顶点v2
   p = p->link;
  }
  if(p != NULL)
   return p->cost;
 }
 return maxValue; // 边(v1, v2)不存在,就存放无穷大的值
}
 
// 插入顶点
template 
bool Graphlnk::insertVertex(const T& vertex) {
 if(numVertices == maxVertices) // 顶点表满，不能插入
  return false;
 nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
 numVertices++;
 return true;
}
 
// 插入边
template 
bool Graphlnk::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
 if(v1 == v2) // 同一顶点不插入
  return false;
 if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
  Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1对应的边链表头指针
  while(p != NULL && p->dest != v2) // 寻找邻接顶点v2
   p = p->link;
  if(p != NULL) // 已存在该边，不插入
   return false;
  p = new Edge; // 创建新结点
  p->dest = v2;
  p->cost = weight;
  p->link = nodeTable[v1].adj; // 链入v1边链表
  nodeTable[v1].adj = p;
  numEdges++;
  return true;
 }
 return false;
}
 
// 有向图删除顶点较麻烦
template 
bool Graphlnk::removeVertex(int v) {
 if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
  return false; // 表空或顶点号超出范围
 
 Edge *p, *s;
 // 1.清除顶点v的边链表结点w 边
 while(nodeTable[v].adj != NULL) {
  p = nodeTable[v].adj;
  nodeTable[v].adj = p->link;
  delete p;
  numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
 } // while结束
 // 2.清除，与v有关的边
 for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
  if(i != v) { // 不是当前顶点v
   s = NULL;
   p = nodeTable[i].adj;
   while(p != NULL && p->dest != v) {// 在顶点i的链表中找v的顶点
    s = p;
    p = p->link; // 往后找
   }
   if(p != NULL) { // 找到了v的结点
    if(s == NULL) { // 说明p是nodeTable[i].adj
     nodeTable[i].adj = p->link;
    } else {
     s->link = p->link; // 保存p的下一个顶点信息
    }
    delete p; // 删除结点p
    numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
   }
  }
 }
 numVertices--; // 图的顶点个数减1
 nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填补,此时numVertices，比原来numVertices小1，所以，这里不需要numVertices-1
 nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
 // 3.要将填补的顶点对应的位置改写
 for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
  p = nodeTable[i].adj;
  while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在顶点i的链表中找numVertices的顶点
   p = p->link; // 往后找
  if(p != NULL) // 找到了numVertices的结点
   p->dest = v; // 将邻接顶点numVertices改成v
 }
 return true;
}
 
// 删除边
template 
bool Graphlnk::removeEdge(int v1, int v2) {
 if(v1 != -1 && v2 != -1) {
  Edge * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
  while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1对应边链表中找被删除边
   q = p;
   p = p->link;
  }
  if(p != NULL) { // 找到被删除边结点
   if(q == NULL) // 删除的结点是边链表的首结点
    nodeTable[v1].adj = p->link;
   else
    q->link = p->link; // 不是，重新链接
   delete p;
   return true;
  }
 }
 return false; // 没有找到结点
}
 
// 取顶点v的第一个邻接顶点
template 
int Graphlnk::getFirstNeighbor(int v) {
 if(v != -1) {
  Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
  if(p != NULL) // 存在，返回第一个邻接顶点
   return p->dest;
 }
 return -1; // 第一个邻接顶点不存在
}
 
// 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
template 
int Graphlnk::getNextNeighbor(int v,int w) {
 if(v != -1) {
  Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
  while(p != NULL && p->dest != w) // 寻找邻接顶点w
   p = p->link;
  if(p != NULL && p->link != NULL)
   return p->link->dest; // 返回下一个邻接顶点
 }
 return -1; // 下一个邻接顶点不存在
}
 
// 给出顶点vertex在图中的位置
template 
int Graphlnk::getVertexPos(const T vertex) {
 for(int i = 0; i < numVertices; i++)
  if(nodeTable[i].data == vertex)
   return i;
 return -1;
}
 
// 当前顶点数
template 
int Graphlnk::numberOfVertices() {
 return numVertices;
}
 
#endif /* Graph_h */

2.Floyd.h

#ifndef Floyd_h
#define Floyd_h
#include "Graph.h"
#include 
 
// Floyd算法
template 
void Floyd(Graphlnk &G, E dist[][DefaultVertices], int path[][DefaultVertices]) {
 // Graph是一个带权有向图，dist[]是当前求到的从顶点v到顶点j的最短路径长度，同时用数组
 // path[]存放求到的最短路径
 // dist[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径的权值
 int n = G.numberOfVertices(); // 顶点数
 int i, j, k;
 
 for(i = 0; i < n; i++) { // 矩阵dist与path初始化
  for(j = 0; j < n; j++) {
   dist[i][j] = G.getWeight(i, j);
   if(i != j && dist[i][j] < G.maxValue)
    path[i][j] = i; // 从顶点i到j的最短路径初始化，j的上一个顶点为i
   else
    path[i][j] = -1; // 没有的边
  }
 }
 for(k = 0; k < n; k++) { // 有n个顶点，需要进行n次更新dist(k)和path(k)
  for(i = 0; i < n; i++) {
   for(j = 0; j < n; j++) {
    if(dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j]) {
     dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
     path[i][j] = path[k][j]; // 缩短路径长度，绕过k到j
    }
   }
  }
 }
}
 
// 从path数组读取最短路径的算法
template 
void printShortestPath(Graphlnk &G, E dist[][DefaultVertices], int path[][DefaultVertices]) {
 int i, j, k, n = G.numberOfVertices();
 stack st; // 记忆路径
 
 for(i = 0; i < n; i++) {
  for(j = 0; j < n; j++) {
   if(i != j) { // 如果不是顶点自身
    cout << "从顶点" << G.getValue(i) << "到顶点" << G.getValue(j) << "的最短路径为：";
    if(path[i][j] == -1) { // 表示两者之间不存在通路
     cout << "顶点" << G.getValue(i) << "到顶点" << G.getValue(j) << "不存在路径！" << endl;
    } else { // 存在路径
     // 要把顶点存到栈中，倒过来输出路径
     k = j;
     do {
      k = path[i][k];
      st.push(k); // 把顶点k压入栈中
     }while(k != i);
     while(st.empty() == false) { // 当栈不空时
      k = st.top(); // 退栈
      st.pop();
      cout << G.getValue(k) << "->";
     }
     cout << G.getValue(j) << "，长度为：" << dist[i][j] << endl;
    }
   }
  } // for内循环
 } // for外循环
}
#endif /* Floyd_h */

3.main.cpp

/*
 测试数据：
 4 8
 0 1 2 3
 0 1 1
 0 3 4
 1 2 9
 1 3 2
 2 0 3
 2 1 5
 2 3 8
 3 2 6
 */
 
#include "Floyd.h"
 
int main(int argc, const char * argv[]) {
 Graphlnk G; // 声明图对象
 int dist[DefaultVertices][DefaultVertices], path[DefaultVertices][DefaultVertices];
 
 // 创建图
 G.inputGraph();
 cout << "图的信息如下：" << endl;
 G.outputGraph();
 // 求所有顶点之间的最短路径
 Floyd(G, dist, path);
 // 输出各个顶点之间的最短路径
 printShortestPath(G, dist, path);
 return 0;
}

测试结果：

C++如何求所有顶点之间的最短路径

看完上述内容，是不是对C++如何求所有顶点之间的最短路径有进一步的了解，如果还想学习更多内容，欢迎关注创新互联行业资讯频道。

文章名称：C++如何求所有顶点之间的最短路径
文章地址：http://chengdu.cdxwcx.cn/article/ppchhs.html

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