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设S(x)表示x的因子和。则题目求为:S(2004^X)mod 29
因子和S是积性函数,即满足性质1。

性质1 ：如果 gcd(a,b)=1 则 S(a*b)= S(a)*S(b)
2004^X=4^X * 3^X *167^X
S(2004^X)=S(2^(2X)) * S(3^X) * S(167^X)

性质2 ：如果 p 是素数 则 S(p^X)=1+p+p^2+...+p^X = (p^(X+1)-1)/(p-1)
因此：S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (167^(X+1)-1)/166
167%29 == 22
S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21

性质3 ：(a*b)/c %M= a%M * b%M * inv(c)
其中inv(c)即满足 (c*inv(c))%M=1的最小整数,这里M=29
则inv(1)=1，inv(2)=15，inv(22)=15

有上得：
S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21
=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)*15 * (22^(X+1)-1)*18

快速幂取模就是在O(logn)内求出a^n mod b的值。算法的原理是ab mod c=(a mod c)(b mod c)mod c 390MS

#include
using namespace std;
const int pow[][3]={{2,5,32},{3,4,81},{22,2,484}};
//2^5>29,3^4>29,22^2>29,用于求(b^i)%29
int PowMod29(int x,int index)   //快速模幂
{
	int ans=1;
	while(index>=pow[x][1]) //当指数大于这个值将会超过29
	{
		ans=(ans*pow[x][2])%29;  //所以要模29.并且要乘上前面的值！
		index-=pow[x][1];
	}
	while(index--) ans=(ans*pow[x][0])%29;//把剩余的不超过29的乘上！再记得模上29（因为有可能超过29）
	return ans;
}
int main()
{
	int X,part2,part3,part167;
	while(cin>>X&&X!=0)
	{
		part2=PowMod29(0,2*X+1);
		part3=PowMod29(1,X+1);
		part167=PowMod29(2,X+1);
		cout<<((part2-1)*(part3-1)*15*(part167-1)*18)%29<

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网页标题：PHP乘法逆元问题怎么解决
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