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令f(r)=∫(0,2π) ln(r^2-2rcosθ+1)dθ
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再令u=θ-π，则θ=u+π，dθ=du
则f(r)=∫(-π,π) ln(r^2+2rcosu+1)du
=2∫(0,π) ln(r^2+2rcosu+1)du
df/dr=(d/dr)*2∫(0,π) ln(r^2+2rcosu+1)du
=2∫(0,π) d[ln(r^2+2rcosu+1)/dx]du
=4∫(0,π) (r+cosu)/(r^2+2rcosu+1)du
令t=tan(u/2)，在u=2arctant，du=2/(1+t^2)dt，cosu=(1-t^2)/(1+t^2)
df/dr=4*∫(0,+∞) [r+(1-t^2)/(1+t^2)]/[r^2+2r(1-t^2)/(1+t^2)+1]*2/(1+t^2)dt
=8*∫(0,+∞) [(1+t^2)r+1-t^2]/[(1+t^2)r^2+2r-2rt^2+1+t^2](1+t^2)dt
=8*∫(0,+∞) [(r-1)t^2+r+1]/[(r-1)^2*t^2+(r+1)^2](1+t^2)dt
=(4/r)*∫(0,+∞) {(r^2-1)/[(r-1)^2*t^2+(r+1)^2]+1/(t^2+1)}dt
=(4/r)*[(r+1)/(r-1)]*∫(0,+∞) 1/{t^2+[(r+1)/(r-1)]^2}dt+(4/r)*arctant|(0,+∞)
=(4/r)*arctan[(r-1)t/(r+1)]|(0,+∞)+(4/r)*(π/2)
（1）当r=-1或r=1时，df/dr=(4/r)*(π/2)+(4/r)*(π/2)=4π/r
f(r)=4πln|r|+C，其中C是任意常数
因为f(1)=2*∫(0,π) ln(1+cosu)du=-2πln2
所以C=-2πln2
即f(r)=2π*[ln(r^2)-ln2]
（2）当-1r1时，df/dr=(4/r)*(-π/2)+(4/r)*(π/2)=0
f(r)=C，其中C是任意常数
因为f(0)=∫(0,2π) ln1dθ=0，所以C=0
即f(r)=0
三角函数积分分为定积分和不定积分。
定积分：积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分的公式为：f（x）（ab）dx=f（x）（ac）（cb）。
不定积分：设是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，公式为：f（x）dx+c1=f（x）dx+c2。
三角函数积分公式如下：
sin(α＋β＋γ）＝sinα·cosβ·cosγ＋cosα·sinβ·cosγ＋cosα·cosβ·sinγ－sinα·sinβ·sinγ。
cos(α＋β＋γ）＝cosα·cosβ·cosγ－cosα·sinβ·sinγ－sinα·cosβ·sinγ－sinα·sinβ·cosγ。
tan(α＋β＋γ）＝（tanα＋tanβ＋tanγ－tanα·tanβ·tanγ）÷(1-tanα·tanβ－tanβ·tanγ－tanγ·tanα）。
不定积分：
是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
注：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2,不能推出c1=c2。
三角函数定积分公式是∫sinxdx=-cosx+C等等，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数，在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积。
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。